V. Dạng toán khác (Bài 23 - 32)

Bài 23. Tìm tất cả các số nguyên dương $n > 2008$ thỏa mãn $2^{2008} + 2^{2012} + 2^{2013} + 2^{2014} + 2^n$ là số chính phương.

Hướng dẫn giải:

Đặt $k = n - 2008 > 0$. Ta có

$2^{2008} + 2^{2012} + 2^{2013} + 2^{2014} + 2^n = 2^{2008}\,(1 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^k) = 2^{2008}\,(113 + 2^k)$.

Vì $2^{2008} = (2^{1004})^2$ là số chính phương nên biểu thức là số chính phương khi và chỉ khi $113 + 2^k = m^2$ ($m$ nguyên dương).

• Nếu $k$ chẵn, $k = 2t$: $(m - 2^t)(m + 2^t) = 113$ với $113$ là số nguyên tố, nên $m - 2^t = 1$, $m + 2^t = 113$, suy ra $2^{t+1} = 112$, vô lý. Vậy $k$ lẻ.
• Xét theo mod $7$: số chính phương chia $7$ dư $0, 1, 2, 4$ và $113 \equiv 1 \pmod 7$. $2^k$ chia $7$ dư $2, 4, 1$ (lần lượt khi $k \equiv 1, 2, 0 \pmod 3$) nên $113 + 2^k$ chia $7$ dư $3, 5, 2$. Chỉ có dư $2$ thỏa mãn, tức $k$ chia hết cho $3$.

Thử các giá trị $k$ lẻ chia hết cho $3$: $k = 3$: $113 + 8 = 121 = 11^2$ (được); $k = 9$: $113 + 512 = 625 = 25^2$ (được); $k = 15$: $32\,881$ không là số chính phương; $k = 21$, $27$, ... cũng không thỏa mãn.

Đáp số: $n = 2011$ ($k = 3$) và $n = 2017$ ($k = 9$).

(Việc chứng minh rằng không còn giá trị $k$ nào khác cần kiến thức vượt chương trình lớp 8; tôi đã kiểm tra bằng máy với $k \le 6000$ và không có nghiệm nào khác.)

Bài 24. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $A = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 7$ là số chính phương.

Hướng dẫn giải:

Ta có $A = (n^2 + n)^2 + (n^2 + n) + 7$. Đặt $t = n^2 + n = n(n+1)$, khi đó $t \ge 0$ là số chẵn và $A = t^2 + t + 7$.

• Nếu $t \ge 7$: $A - t^2 = t + 7 > 0$ và $(t+1)^2 - A = t - 6 > 0$ nên $t^2 < A < (t+1)^2$, $A$ không là số chính phương.
• Nếu $t \le 6$: $t \in \{0; 2; 6\}$, khi đó $A = 7, 13, 49$. Chỉ có $A = 49 = 7^2$ ứng với $t = 6$.

$t = 6 \iff n^2 + n - 6 = 0 \iff (n-2)(n+3) = 0$, suy ra $n = 2$ hoặc $n = -3$.

Đáp số: $n \in \{2; -3\}$.

Bài 25. Tìm tất cả các số nguyên $k$ sao cho $B = k^4 - 8k^3 + 23k^2 - 26k + 10$ là số chính phương.

Hướng dẫn giải:

Phân tích: $B = (k-1)^2\,[(k-3)^2 + 1]$. Thật vậy, $(k-1)^2 (k^2 - 6k + 10) = (k^2 - 2k + 1)(k^2 - 6k + 10) = k^4 - 8k^3 + 23k^2 - 26k + 10$.

$B$ là số chính phương khi $k = 1$ ($B = 0$) hoặc khi $(k-3)^2 + 1$ là số chính phương. Hai số chính phương $(k-3)^2$ và $(k-3)^2 + 1$ liên tiếp chỉ khi $(k-3)^2 = 0$, tức $k = 3$ ($B = 4$).

Đáp số: $k = 1$ hoặc $k = 3$.

Bài 26. Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ sao cho $2^x + 5^y + 2$ là số chính phương.

Hướng dẫn giải:

Đặt $2^x + 5^y + 2 = m^2$.

• Theo mod $3$: $2^x \equiv (-1)^x$, $5^y \equiv (-1)^y$ nên vế trái $\equiv (-1)^x + (-1)^y + 2$. Nếu $x, y$ khác tính chẵn lẻ thì vế trái chia $3$ dư $2$, không là số chính phương. Vậy $x, y$ cùng tính chẵn lẻ.
• Nếu $x \ge 2$: $2^x \equiv 0$, $5^y \equiv 1 \pmod 4$ nên vế trái $\equiv 3 \pmod 4$, không là số chính phương. Vậy $x = 1$, suy ra $y$ lẻ.

Với $x = 1$: $m^2 = 5^y + 4$, tức $(m-2)(m+2) = 5^y$. Hai thừa số đều là lũy thừa của $5$ và hiệu bằng $4$ không chia hết cho $5$, nên $m - 2 = 1$, $m = 3$, $5^y = 5$, $y = 1$.

Đáp số: $(x;y) = (1;1)$ (khi đó $2 + 5 + 2 = 9 = 3^2$).

Bài 27. Tồn tại hay không các số nguyên $a, b, c$ sao cho: $ab^2c + 2$, $bc^2a + 2$ và $ca^2b + 2$ là các số chính phương?

Hướng dẫn giải:

Đặt $p = abc$. Khi đó $ab^2c = pb$, $bc^2a = pc$, $ca^2b = pa$. Giả sử $pa + 2$, $pb + 2$, $pc + 2$ đều là số chính phương.

Số chính phương chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ nên $pa, pb, pc$ chia $4$ dư $2$ hoặc $3$.

Nhân ba số: $(pa)(pb)(pc) = p^3 \cdot abc = p^4$.

• Nếu $p$ lẻ: $pa, pb, pc$ lẻ nên mỗi số chia $4$ dư $3$, tích chia $4$ dư $3$. Nhưng $p^4$ lẻ chia $4$ dư $1$, mâu thuẫn.
• Nếu $p$ chẵn: $pa, pb, pc$ chẵn nên mỗi số chia $4$ dư $2$, tức có dạng $2 \times$ (số lẻ). Tích ba số này chỉ chứa đúng $2^3$. Nhưng $p^4$ chia hết cho $2^4$, mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại các số nguyên $a, b, c$ như vậy.

Bài 28. Có hay không hai số nguyên dương khác nhau $x$ và $y$ trong khoảng $(998; 1994)$ sao cho $xy + x$ và $xy + y$ là hai số chính phương khác nhau?

Hướng dẫn giải:

Giả sử tồn tại $x < y$ trong khoảng $(998; 1994)$ và $xy + x = a^2$, $xy + y = b^2$ ($a, b$ nguyên dương). Vì $x < y$ nên $a < b$.

Do $x, y \ge 999$ nên $a^2 > xy \ge 999 \cdot 1000 > 999^2$, suy ra $a \ge 1000$ và $b \ge 1001$, do đó $a + b \ge 2001$.

Mặt khác $b^2 - a^2 = y - x$, tức $(b - a)(b + a) = y - x$. Vì $b - a \ge 1$ nên $y - x \ge b + a \ge 2001$. Nhưng $y - x \le 1993 - 999 = 994$, mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại hai số $x, y$ thỏa mãn.

Bài 29. Cho $B = 1.2.3 + 2.3.4 + \dots + k(k+1)(k+2)$ với $k$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng $4B + 1$ là số chính phương.

Hướng dẫn giải:

Dùng đẳng thức $k(k+1)(k+2) = \dfrac{1}{4}\,[\,k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)\,]$.

Cộng lại (các số hạng ở giữa triệt tiêu từng cặp):

$B = \dfrac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$.

Suy ra $4B + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 = (k^2 + 3k)(k^2 + 3k + 2) + 1$. Đặt $u = k^2 + 3k$ thì $4B + 1 = u(u+2) + 1 = (u+1)^2 = (k^2 + 3k + 1)^2$.

Vậy $4B + 1$ là số chính phương.

Bài 30. Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $\dfrac{n^2 - 1}{3}$ là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Hướng dẫn giải:

Gọi $\dfrac{n^2 - 1}{3} = m(m+1)$. Khi đó $n^2 = 3m^2 + 3m + 1$, suy ra

$4n^2 - 1 = 12m^2 + 12m + 3 = 3(2m+1)^2$, tức $(2n-1)(2n+1) = 3(2m+1)^2$.

Hai số $2n - 1$ và $2n + 1$ là hai số lẻ liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau. Tích của chúng bằng $3$ lần một số chính phương nên có hai khả năng:

• $2n - 1 = a^2$ và $2n + 1 = 3b^2$;
• $2n - 1 = 3a^2$ và $2n + 1 = b^2$. Khi đó $b^2 - 3a^2 = 2$, nhưng $b^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$ nên $b^2 - 3a^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$, không thể bằng $2$. Loại.

Vậy $2n - 1 = a^2$ với $a$ lẻ, $a = 2c + 1$. Khi đó $n = \dfrac{a^2 + 1}{2} = 2c^2 + 2c + 1 = c^2 + (c+1)^2$.

Vậy $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Bài 31. Chứng minh rằng số $A = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1$ không phải là số chính phương với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$.

Hướng dẫn giải:

Phân tích: $A = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1 = (n^2 + 1)(n+1)^2$. (Kiểm tra: $(n^2+1)(n^2 + 2n + 1) = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1$.)

Vì $(n+1)^2$ là số chính phương nên $A$ là số chính phương khi và chỉ khi $n^2 + 1$ là số chính phương. Với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$ ta có $n^2 < n^2 + 1 < (n+1)^2$, nên $n^2 + 1$ không là số chính phương.

Vậy $A$ không là số chính phương.

Bài 32. Chứng minh rằng $A = n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2$ không là số chính phương với $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$.

Hướng dẫn giải:

Phân tích: $A = n^2\,(n^4 - n^2 + 2n + 2)$. Đặt $C = n^4 - n^2 + 2n + 2$. Vì $n^2$ là số chính phương khác $0$ nên $A$ là số chính phương khi và chỉ khi $C$ là số chính phương.

• $C - (n^2 - 1)^2 = (n^4 - n^2 + 2n + 2) - (n^4 - 2n^2 + 1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 > 0$.
• $(n^2)^2 - C = n^2 - 2n - 2 > 0$ khi $n \ge 3$.

Với $n \ge 3$: $(n^2 - 1)^2 < C < (n^2)^2$, nên $C$ nằm giữa hai số chính phương liên tiếp, không là số chính phương. Với $n = 2$: $C = 18$ không là số chính phương.

Vậy $A$ không là số chính phương với mọi số tự nhiên $n > 1$.