I. Đa thức (Bài 1 - 4)

Bài 1. Cho đa thức $P = y(x-3y) + 2x^2 + 2y^2$.

a) Rút gọn đa thức $P$.

b) Tính giá trị của đa thức $P$ tại $x = 2$; $y = -1$.

c) Cho đa thức $Q = P - (x+y)^2$. Tìm các số nguyên $x, y$ để $Q = -2$.

Hướng dẫn giải:

a) $P = xy - 3y^2 + 2x^2 + 2y^2 = 2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$.

b) Thay $x = 2$, $y = -1$: $P = (4 + 1)(2 - 1) = 5$.

c) $Q = (x+y)(2x-y) - (x+y)^2 = (x+y)(x - 2y)$.

$Q = -2$ nên $x + y$ và $x - 2y$ là hai số nguyên có tích bằng $-2$. Hiệu của chúng là $(x+y) - (x-2y) = 3y$ nên phải chia hết cho $3$.

Các cặp $(x+y;\ x-2y)$ có tích $-2$: $(1;-2)$, $(-1;2)$, $(2;-1)$, $(-2;1)$. Cả bốn cặp đều có hiệu chia hết cho $3$, giải ra:

• $(1;-2)$: $y = 1$, $x = 0$;
• $(-1;2)$: $y = -1$, $x = 0$;
• $(2;-1)$: $y = 1$, $x = 1$;
• $(-2;1)$: $y = -1$, $x = -1$.

Đáp số: $(x;y) \in \{(0;1),\ (0;-1),\ (1;1),\ (-1;-1)\}$.

Bài 2. Cho đa thức $A = x(x-y) + 2y(x+y) - y^2$.

a) Rút gọn đa thức $A$.

b) Tính giá trị của đa thức $A$ tại $x = 4$; $y = -2$.

c) Cho biểu thức $B = \dfrac{3}{A + 2xy + y^2}$. Tìm các số nguyên $x, y$ để $B$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải:

a) $A = x^2 - xy + 2xy + 2y^2 - y^2 = x^2 + xy + y^2$.

b) Thay $x = 4$, $y = -2$: $A = 16 - 8 + 4 = 12$.

c) $A + 2xy + y^2 = x^2 + 3xy + 2y^2 = (x+y)(x+2y)$, nên $B = \dfrac{3}{(x+y)(x+2y)}$.

$B$ nguyên khi và chỉ khi $(x+y)(x+2y)$ là ước của $3$, tức bằng $\pm 1$ hoặc $\pm 3$.

Đặt $a = x + y$, $b = x + 2y$ thì $y = b - a$, $x = 2a - b$. Có $12$ cặp $(a;b)$ với $ab \in \{\pm1, \pm3\}$, mỗi cặp cho một cặp $(x;y)$ nguyên:

$(x;y) \in \{(1;0),\ (-1;0),\ (3;-2),\ (-3;2),\ (-1;2),\ (5;-2),\ (1;-2),\ (-5;2),\ (5;-4),\ (-7;4),\ (-5;4),\ (7;-4)\}$.

Bài 3. Cho đa thức $M = 3x(x-y) - 2x^2 + 4y^2$.

a) Rút gọn đa thức $M$.

b) Tính giá trị của đa thức $M$ tại $x = 3$; $y = 1$.

c) Cho đa thức $N = 2M + y^2 + 4x - 3$. Tìm các số nguyên $x, y$ để $N = -2$.

Hướng dẫn giải:

a) $M = 3x^2 - 3xy - 2x^2 + 4y^2 = x^2 - 3xy + 4y^2$.

b) Thay $x = 3$, $y = 1$: $M = 9 - 9 + 4 = 4$.

c) $N = 2M + y^2 + 4x - 3 = 2x^2 - 6xy + 9y^2 + 4x - 3$.

$N = -2 \iff 2x^2 - 6xy + 9y^2 + 4x - 1 = 0 \iff (x - 3y)^2 + (x+2)^2 = 5$.

Số $5$ chỉ viết được thành tổng hai số chính phương là $1 + 4$, nên $\{|x-3y|;\ |x+2|\} = \{1; 2\}$.

• $|x+2| = 2$: $x = 0$ hoặc $x = -4$. Với $x = 0$ thì $|{-3y}| = 1$ loại; với $x = -4$ thì $|-4-3y| = 1$ cho $y = -1$.
• $|x+2| = 1$: $x = -1$ hoặc $x = -3$. Với $x = -1$ thì $|-1-3y| = 2$ cho $y = -1$; với $x = -3$ thì $y$ không nguyên.

Đáp số: $(x;y) \in \{(-4;-1),\ (-1;-1)\}$.

Bài 4. Cho đa thức $G = x(3x-2y) - 2x^2 + y^2$.

a) Rút gọn đa thức $G$.

b) Tính giá trị của đa thức $G$ tại $x = 5$; $y = 2$.

c) Cho đa thức $K = G - y^2 + 3y - 5x$. Tìm các số nguyên $x, y$ để $K = -7$.

Hướng dẫn giải:

a) $G = 3x^2 - 2xy - 2x^2 + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

b) Thay $x = 5$, $y = 2$: $G = (5-2)^2 = 9$.

c) $K = (x-y)^2 - y^2 + 3y - 5x = x^2 - 2xy + 3y - 5x$.

$K = -7 \iff x^2 - 5x + 7 = y(2x - 3)$.

Nhân hai vế với $4$: $4y(2x-3) = 4x^2 - 20x + 28 = (2x-3)(2x-7) + 7$, suy ra $(2x-3)\,[\,4y - (2x-7)\,] = 7$.

Vậy $2x - 3$ là ước của $7$: $2x - 3 \in \{1; -1; 7; -7\}$, tức $x \in \{2; 1; 5; -2\}$. Tính $y = \dfrac{x^2-5x+7}{2x-3}$ ta được:

Đáp số: $(x;y) \in \{(2;1),\ (1;-3),\ (5;1),\ (-2;-3)\}$.