IV. Hình học (Bài 13 - 22)

Bài 13. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AD < AB$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC$.

a) Chứng minh $ABNM$ là hình chữ nhật.

b) Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $ABM$ cắt tia $DC$ tại $K$. Trên đoạn $DC$ lấy điểm $P$ sao cho $DP = CK$. Chứng minh tứ giác $APKB$ là hình bình hành.

c) Kẻ $KH$ vuông góc với đường thẳng $AB$ tại $H$. Chứng minh $AN$ vuông góc với $HC$.

Hướng dẫn giải:

a) $M, N$ là trung điểm của $AD, BC$ và $AD = BC$, $AD \parallel BC$ nên $AM = BN = \dfrac{1}{2}AD$ và $AM \parallel BN$. Suy ra $ABNM$ là hình bình hành, lại có $\widehat{A} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

b) $K$ nằm trên tia $DC$, phía ngoài $C$, nên $DK = DC + CK$. $P$ thuộc đoạn $DC$ và $DP = CK$ nên

$PK = DK - DP = DC + CK - CK = DC = AB$.

Hơn nữa $PK \parallel AB$ (vì $DC \parallel AB$). Tứ giác $APKB$ có $PK \parallel AB$, $PK = AB$ nên là hình bình hành.

c) Lưu ý: đề in "vuông góc với $ABM$", ở đây hiểu là qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BM$ (chỉ khi đó kết luận mới đúng).

• $KH \parallel BC$ (cùng vuông góc $AB$), $CK \parallel BH$, $\widehat{B} = 90^\circ$ nên $BCKH$ là hình chữ nhật, suy ra $BH = CK$.
• $\widehat{ABM} + \widehat{MBC} = 90^\circ$ và $\widehat{MBC} + \widehat{CBK} = \widehat{MBK} = 90^\circ$ nên $\widehat{CBK} = \widehat{ABM}$.
• $\triangle ABM \backsim \triangle CBK$ (g.g, cùng có một góc vuông và một góc nhọn bằng nhau) nên $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{CK}{CB}$. Mà $AM = BN$, $CK = BH$ nên $\dfrac{BN}{AB} = \dfrac{BH}{BC}$.
• $\triangle ABN \backsim \triangle CBH$ (c.g.c, cùng có góc $B = 90^\circ$) nên $\widehat{BAN} = \widehat{BCH}$.
• Gọi $I = AN \cap CH$. $\widehat{ANB} = \widehat{CNI}$ (đối đỉnh). Trong $\triangle NCI$: $\widehat{NCI} + \widehat{CNI} = \widehat{BAN} + \widehat{ANB} = 90^\circ$ (tam giác $ABN$ vuông tại $B$). Vậy $\widehat{NIC} = 90^\circ$, tức $AN \perp HC$.

Bài 14. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường trung tuyến $AI$, đường cao $AH$. Từ $H$ kẻ các đường thẳng $HM \perp AB$ ($M \in AB$), $HN \perp AC$ ($N \in AC$). Gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và $MN$.

a) Chứng minh tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật.

b) Trên tia $NC$ lấy điểm $P$ sao cho $AN = PN$. Gọi $I$ là giao điểm của $MP$ và $HN$. Chứng minh rằng tứ giác $HMPN$ là hình bình hành và $OI = \dfrac{1}{2}AN$.

c) Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $AH$ và cắt đường thẳng $MH$ tại điểm $E$, cắt đường thẳng $MN$ tại điểm $F$. Hỏi tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện gì để tam giác $MFE$ là tam giác vuông cân?

Hướng dẫn giải:

a) Tứ giác $AMHN$ có $\widehat{A} = \widehat{M} = \widehat{N} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

b) Lưu ý: tên tứ giác nên đọc theo thứ tự đỉnh là $HMNP$.

$N$ là trung điểm của $AP$ ($AN = PN$, $P$ thuộc tia $NC$). Vì $AMHN$ là hình chữ nhật nên $HM \parallel AN$ và $HM = AN$. Suy ra $HM \parallel NP$ và $HM = NP$, vậy $HMNP$ là hình bình hành.

Hai đường chéo $HN$ và $MP$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trung điểm của $HN$. Trong hình chữ nhật $AMHN$, hai đường chéo $AH$ và $MN$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường. Trong $\triangle MNH$: $O$ là trung điểm $MN$, $I$ là trung điểm $HN$ nên $OI$ là đường trung bình, $OI = \dfrac{1}{2}MH = \dfrac{1}{2}AN$.

c) $HM \parallel AC$ và $CE \parallel AH$ nên $AHEC$ là hình bình hành.

• Trong $\triangle MFE$, góc $\widehat{FME} = \widehat{NMH}$ (do $F$ nằm trên tia $MN$, $E$ trên tia $MH$). Trong hình chữ nhật $AMHN$, $OM = OH$ nên $\widehat{NMH} = \widehat{MHA}$. Mà $\widehat{MHA} = 90^\circ - \widehat{MAH} = 90^\circ - \widehat{BAH} = \widehat{B}$. Vậy $\widehat{FME} = \widehat{B}$.
• $\widehat{MEF}$ là góc giữa $HM$ (song song $AC$) và $CE$ (song song $AH$), nên $\widehat{MEF} = \widehat{CAH} = \widehat{B}$.

Do đó $\triangle MFE$ cân tại $F$ với $\widehat{M} = \widehat{E} = \widehat{B}$, và $\widehat{F} = 180^\circ - 2\widehat{B}$. Tam giác này vuông cân khi và chỉ khi $\widehat{F} = 90^\circ$, tức $\widehat{B} = 45^\circ$.

Vậy tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện vuông cân tại $A$ ($AB = AC$).

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB > AC$). Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$.

a) Chứng minh tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật và $AM = \dfrac{1}{2}BC$.

b) Gọi $E$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $BC$, lấy điểm $F$ sao cho $E$ là trung điểm của $ED$. Chứng minh $CE = AB$ và $AF$ vuông góc với $EF$.

c) Qua $F$ kẻ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $H$ và $K$. Chứng minh $H, K, E$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) $M$ là trung điểm của $BC$ và $AD$ ($MD = MA$) nên $ABDC$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, là hình bình hành; lại có $\widehat{A} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật. Hai đường chéo bằng nhau: $AD = BC$, nên $AM = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC$.

b) Lưu ý: đề in "$E$ là trung điểm của $ED$" và "$CE = AB$", có vẻ in nhầm. Hiểu là $E$ là trung điểm của $DF$ (tức $F$ đối xứng với $D$ qua $BC$) và chứng minh $CF = AB$.

• $BC$ là đường trung trực của $DF$ nên $CF = CD$. Mà $CD = AB$ (cạnh đối hình chữ nhật $ABDC$). Vậy $CF = AB$.
• $M$ thuộc $BC$ nên $MF = MD$. Trong hình chữ nhật $ABDC$, $MA = MD$. Suy ra $MA = MD = MF$, tức $F$ nằm trên đường tròn đường kính $AD$. Do đó $\widehat{AFD} = 90^\circ$, hay $AF \perp FD$. Mà $E$ thuộc $FD$ nên $AF \perp EF$.

c) $AHFK$ có $\widehat{A} = \widehat{H} = \widehat{K} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật. Bốn điểm $A, B, F, C$ cùng nằm trên đường tròn tâm $M$ (vì $MA = MB = MC = MF$).

Xét các điểm $H, E$: $\widehat{FHB} = \widehat{FEB} = 90^\circ$ nên $F, H, B, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BF$, suy ra $\widehat{FHE} = \widehat{FBE} = \widehat{FBC}$.

Mặt khác $\widehat{FBC} = \widehat{FAC}$ (cùng chắn cung $FC$ của đường tròn tâm $M$), và $\widehat{FAC} = \widehat{FAK} = \widehat{FHK}$ (hình chữ nhật $AHFK$, hai góc cùng chắn $FK$). Vậy $\widehat{FHE} = \widehat{FHK}$, suy ra $H, K, E$ thẳng hàng. (Đây là đường thẳng Simson của điểm $F$ đối với tam giác $ABC$.)

Bài 16. Cho hình chữ nhật $ABCD$. Kẻ $BH$ vuông góc với $AC$ ($H$ thuộc $AC$). Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $AB, AH, CD$.

a) Chứng minh tứ giác $MBCP$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $MN$ vuông góc với $AC$.

c) Kẻ $NK \parallel AB$ ($K$ thuộc $BH$). Chứng minh $NP = CK$.

d) Chứng minh $NP$ vuông góc với $NB$.

Hướng dẫn giải:

a) $M, P$ là trung điểm $AB, CD$ và $AB = CD$, $AB \parallel CD$ nên $MB = CP = \dfrac{1}{2}AB$ và $MB \parallel CP$. Do đó $MBCP$ là hình bình hành, có $\widehat{B} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

b) Trong $\triangle ABH$, $M, N$ là trung điểm của $AB, AH$ nên $MN \parallel BH$. Mà $BH \perp AC$ nên $MN \perp AC$.

c) Trong $\triangle ABH$, đường thẳng qua $N$ (trung điểm $AH$) song song $AB$ cắt $BH$ tại $K$ nên $K$ là trung điểm $BH$ và $NK = \dfrac{1}{2}AB$.

Mà $CP = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}AB$ và $NK \parallel AB \parallel CP$ nên $NK \parallel CP$, $NK = CP$. Suy ra $NKCP$ là hình bình hành, do đó $NP = CK$ và $NP \parallel CK$.

d) Trong $\triangle NBC$: $NK \parallel AB$ mà $AB \perp BC$ nên $NK \perp BC$; $BK$ nằm trên $BH \perp AC$, mà $N, C \in AC$ nên $BK \perp NC$. Vậy $K$ là trực tâm của $\triangle NBC$, suy ra $CK \perp NB$. Mà $NP \parallel CK$ nên $NP \perp NB$.

Bài 17. Cho hình chữ nhật $ABCD$. Kẻ $AN$ và $CM$ cùng vuông góc với $BD$ ($N, M$ thuộc $BD$).

a) Chứng minh $DN = BM$.

b) Chứng minh tứ giác $ANCM$ là hình bình hành.

c) Trên tia đối của tia $NA$ lấy điểm $K$ sao cho $NK = NA$. Tứ giác $DKCB$ là hình gì? Vì sao?

d) Tia $AM$ cắt tia $KC$ tại điểm $P$, chứng minh rằng $NP, AC, KM$ đồng quy.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $\triangle ADN$ và $\triangle CBM$ (vuông tại $N$ và $M$): $AD = CB$, $\widehat{ADN} = \widehat{CBM}$ (so le trong, $AD \parallel BC$). Vậy $\triangle ADN = \triangle CBM$ (cạnh huyền - góc nhọn), suy ra $DN = BM$ và $AN = CM$.

b) $AN \perp BD$ và $CM \perp BD$ nên $AN \parallel CM$. Kết hợp $AN = CM$ ta có $ANCM$ là hình bình hành.

c) Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật, $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. Hình bình hành $ANCM$ có hai đường chéo $AC$ và $NM$ cắt nhau tại trung điểm của $AC$ nên $O$ cũng là trung điểm của $NM$, và $O$ thuộc $BD$.

Trong $\triangle AKC$: $N$ là trung điểm của $AK$, $O$ là trung điểm của $AC$ nên $NO \parallel KC$. Mà $NO$ nằm trên $BD$ nên $KC \parallel BD$. Vậy $DKCB$ là hình thang (đáy $KC$ và $DB$).

Đường chéo $DC = AB$. Ngoài ra $BN \perp AK$ và $N$ là trung điểm $AK$ nên $BK = BA$. Suy ra $DC = BK$: hai đường chéo bằng nhau. Vậy $DKCB$ là hình thang cân.

d) Trong $\triangle AKP$: $NC \parallel AM$ (vì $ANCM$ là hình bình hành), $N$ là trung điểm $AK$ nên $C$ là trung điểm $KP$ (đường thẳng qua trung điểm một cạnh, song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba).

Tiếp theo $CM \parallel AN \parallel AK$ và $C$ là trung điểm $KP$ nên $M$ là trung điểm $AP$.

Vậy trong $\triangle AKP$: $N$ là trung điểm $AK$, $M$ là trung điểm $AP$, $C$ là trung điểm $KP$. Ba đường trung tuyến $PN$, $KM$, $AC$ đồng quy (tại trọng tâm), tức $NP, AC, KM$ đồng quy.

Bài 18. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB > AC$). Gọi $E$ là trung điểm của $BC$. $D, H$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $E$ xuống $AB, AC$.

a) Chứng minh tứ giác $ADEH$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $D$ là trung điểm $AB$.

c) Lấy điểm $F$ sao cho $D$ là trung điểm của $EF$. Kẻ $EI$ vuông góc với $AF$ tại $I$. Chứng minh $IH$ vuông góc với $ID$.

d) Chứng minh $IH = \dfrac{1}{2}HD$.

Hướng dẫn giải:

a) Tứ giác $ADEH$ có $\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{H} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

b) $ED \perp AB$, $AC \perp AB$ nên $ED \parallel AC$. $E$ là trung điểm của $BC$ nên $D$ là trung điểm của $AB$ (đường thẳng qua trung điểm $BC$ song song $AC$).

c) $\widehat{ADE} = \widehat{AHE} = \widehat{AIE} = 90^\circ$ nên $A, D, E, H, I$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AE$. Trong hình chữ nhật $ADEH$, $DH$ cũng là một đường kính của đường tròn này (cắt $AE$ tại tâm). Vậy $\widehat{DIH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tức $IH \perp ID$.

d) Lưu ý: đề in "$IH = \dfrac{1}{2}HD$" không đúng tổng quát (ví dụ $AB = 4$, $AC = 3$ thì $IH = 2$, $HD = 2{,}5$). Kết luận đúng là $IH = \dfrac{1}{2}AB$.

$D$ là trung điểm của $AB$ và của $EF$ với $AB \perp EF$ nên $AEBF$ là hình thoi, suy ra $\widehat{FAB} = \widehat{EAB}$.

Trong đường tròn đường kính $AE$: $\widehat{HIE} = \widehat{HAE}$ (cùng chắn cung $HE$), và $\widehat{HAE} = 90^\circ - \widehat{EAB}$. Mặt khác $EH \parallel AB$ và $EI \perp AF$ nên $\widehat{HEI} = 90^\circ - \widehat{FAB} = 90^\circ - \widehat{EAB}$. Vậy $\widehat{HIE} = \widehat{HEI}$, $\triangle HIE$ cân tại $H$, $HI = HE$. Mà $HE = AD = \dfrac{1}{2}AB$ (hình chữ nhật $ADEH$, $D$ là trung điểm $AB$). Vậy $IH = \dfrac{1}{2}AB$.

Bài 19. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$). Gọi $M, N, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, AC$. Kẻ $AI$ vuông góc với $BC$ tại $I$.

a) Chứng minh tứ giác $AMNQ$ là hình chữ nhật.

b) Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ và cắt $NQ$ tại điểm $K$. Chứng minh rằng $AK \parallel MQ$.

c) Chứng minh tứ giác $INQM$ là hình thang cân.

d) Chứng minh $MI$ vuông góc với $QI$.

Hướng dẫn giải:

a) $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ nên $MN \parallel AC$; $NQ \parallel AB$. Tứ giác $AMNQ$ có các cạnh đối song song nên là hình bình hành, lại có $\widehat{A} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

b) $M, Q$ là trung điểm của $AB, AC$ nên $MQ$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, $MQ \parallel BC$. Mà $AK \parallel BC$ (theo cách vẽ) nên $AK \parallel MQ$.

c) $MQ \parallel BC$ nên $MQ \parallel IN$ ($I, N$ thuộc $BC$), vậy $INQM$ là hình thang (đáy $MQ$, $IN$). Hai đường chéo của nó là $IQ$ và $MN$.

• $MN = AQ = \dfrac{1}{2}AC$ ($MN$ và $AQ$ là hai cạnh đối của hình chữ nhật $AMNQ$, $Q$ là trung điểm $AC$).
• Trong $\triangle AIC$ vuông tại $I$, $IQ$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $IQ = \dfrac{1}{2}AC$.

Suy ra $IQ = MN$. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân, vậy $INQM$ là hình thang cân.

d) Trong $\triangle AIB$ vuông tại $I$, $IM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $IM = AM$. Tương tự $IQ = AQ$. Xét $\triangle AMQ$ và $\triangle IMQ$: $AM = IM$, $AQ = IQ$, $MQ$ chung nên $\triangle AMQ = \triangle IMQ$ (c.c.c). Suy ra $\widehat{MIQ} = \widehat{MAQ} = 90^\circ$, tức $MI \perp QI$.

Bài 20. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Kẻ $HI$ vuông góc với $AB$ tại $I$. Kẻ $HK$ vuông góc với $AC$ tại $K$.

a) Chứng minh $AH = IK$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $BC \ge 2.IK$.

c) Chứng minh $AM$ vuông góc với $IK$.

Hướng dẫn giải:

a) Tứ giác $AIHK$ có $\widehat{A} = \widehat{I} = \widehat{K} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật. Hai đường chéo bằng nhau: $AH = IK$.

b) $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến nên $AM = \dfrac{1}{2}BC$. $AH \perp BC$ nên $AH \le AM$ (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên, dấu "=" khi $H \equiv M$). Do đó $IK = AH \le AM = \dfrac{1}{2}BC$, tức $BC \ge 2\cdot IK$.

c) Gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và $IK$, $T$ là giao điểm của $AM$ và $IK$.

• Trong hình chữ nhật $AIHK$: $OA = OI$ nên $\widehat{AIK} = \widehat{IAH} = \widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat{B} = \widehat{C}$.
• $MA = MB$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền) nên $\widehat{BAM} = \widehat{B}$.

Trong $\triangle AIT$: $\widehat{IAT} + \widehat{AIT} = \widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$. Vậy $\widehat{ATI} = 90^\circ$, tức $AM \perp IK$.

Bài 21. Cho hình chữ nhật $ABCD$. Điểm $I, K$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $DI = CK$ ($I$ khác $D$). Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI$, cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Gọi $O$ là trung điểm của $AN$.

a) Chứng minh $OC = OD$.

b) Chứng minh tam giác $AKN$ vuông tại $K$.

c) Kẻ $NM$ vuông góc với $AD$ tại $M$. Chứng minh tam giác $BKM$ vuông tại $K$.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $G$ là trung điểm của $CD$. Tứ giác $ADCN$ có $AD \parallel NC$ (cùng vuông góc $CD$) nên là hình thang vuông. $O$ là trung điểm $AN$, $G$ là trung điểm $DC$ nên $OG$ là đường trung bình của hình thang, $OG \parallel AD$, suy ra $OG \perp CD$. Vậy $OG$ là đường trung trực của $CD$, do đó $OC = OD$.

b) $DI = CK$ và $DG = CG$ nên $IG = KG$ ($G$ là trung điểm của $IK$). Kết hợp $OG \perp IK$ ta có $OG$ là trung trực của $IK$, suy ra $OI = OK$.

$\triangle AIN$ vuông tại $I$ có $O$ là trung điểm cạnh huyền $AN$ nên $OI = \dfrac{1}{2}AN$. Vậy $OK = \dfrac{1}{2}AN$, tức trung tuyến $KO$ bằng nửa cạnh $AN$. Do đó $\triangle AKN$ vuông tại $K$.

c) $NM \perp AD$ và $AB \perp AD$ nên $NM \parallel AB$; cũng có $AM \parallel BN$. Vậy $ABNM$ là hình chữ nhật, hai đường chéo $AN$ và $BM$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm chung, đó chính là $O$. Suy ra $OB = OM = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{2}AN$.

Theo câu b, $OK = \dfrac{1}{2}AN$. Vậy $OK = OB = OM = \dfrac{1}{2}BM$. Trong $\triangle BKM$, trung tuyến $KO$ bằng nửa cạnh $BM$ nên tam giác $BKM$ vuông tại $K$.

Bài 22. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm của $BC$. Điểm $D$ thuộc đoạn thẳng $AM$. Kẻ $DE, DF$ vuông góc với $AB, AC$ tại $E, F$.

a) Chứng minh tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $EF \parallel BC$.

c) Tìm vị trí điểm $D$ trên $AM$ để $BC = 4EF$.

Hướng dẫn giải:

a) Tứ giác $AEDF$ có $\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

b) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AD$ và $EF$ của hình chữ nhật, ta có $OA = OE$ nên $\widehat{AEF} = \widehat{EAD} = \widehat{BAM}$. $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền nên $MA = MB$, suy ra $\widehat{BAM} = \widehat{B}$. Vậy $\widehat{AEF} = \widehat{B}$, hai góc ở vị trí đồng vị nên $EF \parallel BC$.

c) $EF = AD$ (hai đường chéo hình chữ nhật) và $BC = 2AM$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền). $BC = 4EF \iff 2AM = 4AD \iff AD = \dfrac{1}{2}AM$.

Vậy $D$ là trung điểm của $AM$.