III. Bài toán thực tế (Bài 8 - 12)

Bài 8. Tại một siêu thị bán hoa quả, giá của mỗi kilogam nho là $60\,000$ đồng và giá của mỗi kilogam dưa hấu là $25\,000$ đồng. Bác Hòa muốn mua $x$ kg nho và $y$ kg dưa hấu.

a) Viết biểu thức đại số biểu thị tổng số tiền bác Hòa phải trả. Tính số tiền bác Hòa phải trả khi $x = 3$, $y = 5$.

b) Bác Hòa mang theo $500\,000$ đồng đi siêu thị để mua nho và dưa hấu. Bác muốn mua đúng $12$ kg hoa quả gồm cả hai loại sao cho tổng số tiền không vượt quá số tiền mang theo. Hỏi bác Hòa có thể mua nhiều nhất bao nhiêu kilogam nho? (Biết $x$ và $y$ là các số tự nhiên).

Hướng dẫn giải:

a) Số tiền bác Hòa phải trả là $T = 60\,000x + 25\,000y$ (đồng).

Khi $x = 3$, $y = 5$: $T = 180\,000 + 125\,000 = 305\,000$ (đồng).

b) Mua đúng $12$ kg nên $x + y = 12$, tức $y = 12 - x$. Tổng tiền không vượt quá $500\,000$:

$60\,000x + 25\,000(12 - x) \le 500\,000 \iff 35\,000x \le 200\,000 \iff x \le \dfrac{40}{7} \approx 5{,}7$.

Vì $x$ là số tự nhiên nên $x \le 5$. Với $x = 5$, $y = 7$ thì tiền phải trả là $300\,000 + 175\,000 = 475\,000 \le 500\,000$ (thỏa mãn).

Vậy bác Hòa mua được nhiều nhất 5 kg nho.

Bài 9. Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là $x + 3y$ (m) và chiều rộng là $x - 3y$ (m). ($x > 3y > 0$)

a) Viết biểu thức dưới dạng thu gọn biểu thị diện tích mảnh đất đó.

Người ta trồng rau trên toàn bộ diện tích mảnh đất đó, sau $3$ tháng thì được thu hoạch và mang đi bán. Tính số tiền thu được sau mỗi lần bán khi $x = 10$, $y = 2$, biết rằng mỗi $\mathrm{m}^2$ trồng rau thu được $50\,000$ đồng.

b) Để tiêu thụ toàn bộ số rau này, chủ vườn đưa ra $2$ phương án thuê xe vận chuyển:

• Phương án A (Thuê xe tải nhỏ): Chi phí cố định là $100\,000$ đồng (tiền bốc xếp) cộng với $3000$ đồng cho mỗi mét vuông rau thu hoạch.
• Phương án B (Thuê xe tải lớn): Không tốn phí bốc xếp cố định, nhưng chi phí vận chuyển là $5000$ đồng cho mỗi mét vuông rau thu hoạch.

Với diện tích mảnh đất ở câu a, chủ vườn nên chọn phương án nào để chi phí vận chuyển là nhỏ nhất (tối ưu nhất)?

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích mảnh đất: $S = (x + 3y)(x - 3y) = x^2 - 9y^2$ ($\mathrm{m}^2$).

Khi $x = 10$, $y = 2$: $S = 100 - 36 = 64\ (\mathrm{m}^2)$. Số tiền thu được sau mỗi lần bán: $64 \times 50\,000 = 3\,200\,000$ (đồng).

b) Diện tích rau thu hoạch là $64\ \mathrm{m}^2$.

• Phương án A: $100\,000 + 3000 \times 64 = 292\,000$ (đồng).
• Phương án B: $5000 \times 64 = 320\,000$ (đồng).

Vì $292\,000 < 320\,000$ nên chủ vườn nên chọn phương án A (thuê xe tải nhỏ).

Bài 10. Một rạp chiếu phim bán hai loại vé:

• Vé người lớn: $70\,000$ đồng/vé
• Vé trẻ em: $50\,000$ đồng/vé

Một gia đình gồm $x$ người lớn và $y$ trẻ em cùng đi xem phim.

a) Thiết lập đa thức tính tổng chi phí phát sinh của gia đình đó phải trả nếu có $4$ người lớn và $6$ trẻ em.

b) Rạp phim có chương trình khuyến mãi "Giảm $10\%$ hóa đơn nếu mua từ $10$ vé trở lên". Một gia đình có $600\,000$ đồng. Hỏi gia đình đó có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu vé (bao gồm cả người lớn và trẻ em).

Hướng dẫn giải:

a) Tổng chi phí: $T = 70\,000x + 50\,000y$ (đồng). Với $x = 4$, $y = 6$: $T = 280\,000 + 300\,000 = 580\,000$ (đồng).

b) Gọi $n$ là tổng số vé. Gia đình có cả người lớn và trẻ em ($x \ge 1$, $y \ge 1$) nên số tiền gốc ít nhất là khi có $1$ người lớn và $n - 1$ trẻ em: $70\,000 + 50\,000(n-1) = 50\,000n + 20\,000$.

Muốn mua nhiều vé thì phải được giảm giá, tức $n \ge 10$. Khi đó số tiền phải trả ít nhất là $0{,}9\,(50\,000n + 20\,000) = 45\,000n + 18\,000$. Cần $45\,000n + 18\,000 \le 600\,000$, tức $n \le \dfrac{582}{45} \approx 12{,}9$, nên $n \le 12$.

Kiểm tra $n = 12$ ($1$ người lớn, $11$ trẻ em): $0{,}9 \times (70\,000 + 550\,000) = 558\,000 \le 600\,000$ (đủ tiền).

Vậy gia đình mua được nhiều nhất 12 vé.

(Nếu cả nhà chỉ mua vé trẻ em thì được tối đa $13$ vé vì $13 \times 45\,000 = 585\,000$.)

Bài 11. Để chuẩn bị cho dịp trung thu, lớp 8A chuẩn bị mua $3$ loại sản phẩm: Bánh dẻo giá $50\,000$ đồng/gói, bánh nướng giá $60\,000$ đồng/gói, nước ngọt giá $20\,000$ đồng/chai. Giả sử lớp sẽ mua $x$ gói bánh dẻo, $y$ gói bánh nướng và $z$ chai nước ngọt. ($x, y, z \in \mathbb{N}^*$)

a) Viết đa thức biểu diễn tổng số tiền lớp 8A phải trả theo $x, y, z$.

b) Cửa hàng đang có chương trình giảm giá cho khách hàng mua từ $15$ sản phẩm trở lên sẽ được giảm $15\%$ hóa đơn. Biết lớp sẽ mua tổng là $18$ sản phẩm (phải có đủ cả $3$ loại). Hãy xác định số lượng bánh và nước ngọt để tổng tiền phải trả sau giảm giá là nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

a) Tổng số tiền: $T = 50\,000x + 60\,000y + 20\,000z$ (đồng).

b) Mua $18$ sản phẩm ($\ge 15$) nên được giảm $15\%$, số tiền phải trả là $0{,}85\,T$. Muốn tiền phải trả nhỏ nhất thì $T$ nhỏ nhất.

Vì $x + y + z = 18$ nên $z = 18 - x - y$, suy ra

$T = 50\,000x + 60\,000y + 20\,000(18 - x - y) = 360\,000 + 30\,000x + 40\,000y$.

Do $x, y \in \mathbb{N}^*$ (đủ cả $3$ loại) nên $x \ge 1$, $y \ge 1$ và $T \ge 360\,000 + 30\,000 + 40\,000 = 430\,000$. Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 1$, $z = 16$.

Vậy mua 1 gói bánh dẻo, 1 gói bánh nướng, 16 chai nước ngọt; số tiền phải trả nhỏ nhất là $0{,}85 \times 430\,000 = 365\,500$ (đồng).

Bài 12. Một căn phòng cần được sơn lại các bức tường xung quanh và trần nhà. Căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là $x$ mét, chiều rộng là $y$ mét, và chiều cao là $z$ mét. Giá sơn mỗi mét vuông (bao gồm cả vật liệu và công thợ) là $120\,000$ đồng.

a) Lập đa thức biểu diễn tổng chi phí để sơn lại căn phòng. Áp dụng tính chi phí khi biết $x = 5$ mét, $y = 4$ mét, $z = 3$ mét.

b) Giả sử diện tích sàn nhà là $20\ \mathrm{m}^2$ và thể tích của phòng là $60\ \mathrm{m}^3$. Hãy tìm các kích thước của căn phòng để chi phí sơn là thấp nhất và tính chi phí đó.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích bốn bức tường xung quanh là $2(x+y)z$, diện tích trần là $xy$. Tổng chi phí:

$T = 120\,000\,[\,2z(x+y) + xy\,]$ (đồng).

Với $x = 5$, $y = 4$, $z = 3$: $2 \cdot 3 \cdot 9 + 20 = 74\ (\mathrm{m}^2)$, nên $T = 74 \times 120\,000 = 8\,880\,000$ (đồng).

b) Diện tích sàn $xy = 20$, thể tích $xyz = 60$ nên $z = 3$ m. Khi đó $T = 120\,000\,[\,6(x+y) + 20\,]$.

$T$ nhỏ nhất khi $x + y$ nhỏ nhất. Vì $xy = 20$ không đổi, theo bất đẳng thức $(x-y)^2 \ge 0$ ta có $(x+y)^2 \ge 4xy = 80$, suy ra $x + y \ge 4\sqrt{5}$, dấu "=" khi $x = y = 2\sqrt{5}$.

Vậy kích thước cần tìm là $x = y = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ m, $z = 3$ m; chi phí thấp nhất là $120\,000\,(24\sqrt{5} + 20) \approx 8\,839\,900$ (đồng).